LA DIFERENCIA ENTRE LA GEOMETRIA EUCLIDIANA Y LA ESFERICA

Los antiguos egipcios y otras civilizaciones antiguas desarrollaron y utilizaron las matemáticas en sus primeras formas de construir ciudades, revolucionaron su mundo y allanaron el camino para los futuros desarrollos en los campos de la ciencia y las matemáticas. 

Los principios de las matemáticas han mantenido su verdad a través de las distintas épocas, incluso a medida que se han desarrollado. La definición de Euclides de lo que llamamos geometría euclidiana es un ladrillo dentro de la fundación de la matemática moderna.
                                             



L

EJEMPLO 1

Calcular ángulos entre rectas paralelas


1) Si las rectas l y m son paralelas y <1 = <2 =55. Calcule la medida de <4

SOLUCIÓN

Para resolver éste problema se utilizarán las propiedades de ángulos establecidas en ésta sección.

Calculando el ángulo < ABC cuya medida es la suma de dos ángulos adyacentes
<ABC = <1 + <2 =55° +55° =110°

Ahora se puede calcular el <3 y <4 ya que es igual al <ABC pues son alternos internos entre paralela

Finalmente, el <3 y el <4 son ángulos suplementarios es decir que suman 180°

<3 + < 4 = 180º 4 180º

<4 =180° - <3

= 180º - 110º = 70º

Entonces la medida del <4 es 70°

EJEMPLO 2

Calculando ángulos expresados en términos de variables La medida de un ángulo agudo es tal que su ángulo complementario y su suplementario están en razón de 3 a 7. Encontrar la medida del ángulo.

SOLUCIÓN
Sea x la medida del ángulo buscado, entonces su complemento es 90 - x y su suplemento es 180 - x . Como la razón entre su complemento y su suplemento es 3/7, se obtiene la ecuación

90-x /18-x =3/7

Resolviendo la ecuación anterior

7(90-x) = 3(18-x)

630 -7x = 540-3x

3x – 7x = 540-630

-4x =- 90

X= 22.5

La medida del ángulo agudo es 22.5º o bien 22º 30´.

EJEMPLO 3

RECTAS PERPENDICULARES

Si dos rectas se intersecan formando ángulos rectos, las rectas son perpendiculares y la medida de los cuatro ángulos formados es 90º. En la figura las rectas l y m son perpendiculares

  

          <1 = <2 = <3 = <4 = 90º

RECTAS PARALELAS

Dos rectas son paralelas cuando están en un mismo plano y no tienen ningún punto en común. En la figura las rectas l y m son paralelas

ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS Y UNA TRANSVERSAL

Cuando dos rectas paralelas son intersecadas por una transversal, se forman 8 ángulos como se muestra en la figura siguiente

Puede observarse que se forman cuatro pares de ángulos que son opuestos por el vértice así como ocho pares de ángulos que comparten el mismo vértice y son suplementarios. Adicionalmente se definen los ángulos siguientes:

Ángulos correspondientes 

Los ángulos situados del mismo lado de la transversal, uno externo y el otro interno pero con vértice diferente se llaman ángulos correspondientes; hay cuatro pares de ángulos correspondientes. Los ángulos correspondientes son iguales, es decir:

<1 = <5, <2 = <6, <3 = <7, <4 = <8

Ángulos alternos internos

Los ángulos situados dentro de las paralelas, en lados opuestos de la transversal y con vértice diferente se llaman ángulos alternos internos; hay dos pares de ángulos alternos internos. Los ángulos alternos internos son iguales, es decir:

<3 = <6, <4 = <5

Ángulos alternos externos 

Los ángulos situados fuera de las paralelas, en lados opuestos de la transversal y con vértice diferente se llaman ángulos alternos externos; hay dos pares de ángulos alternos externos. Los ángulos alternos externos son iguales, es decir:

<2 = <7

RELACIONES ENTRE PUNTOS RECTAS Y ÁNGULOS

Cuando se combinan puntos, rectas, segmentos y ángulos, se obtienen figuras geométricas; las cuales dan origen a definiciones y teoremas que relacionan los elementos geométricos. A continuación se presentan algunas definiciones y teoremas importantes.

 PUNTOS SOBRE UNA RECTA

Si tres puntos A, B y C se encuentran sobre una recta, y el punto B está entre los puntos A y C, entonces las distancias entre ellos se relacionan de la siguiente forma.

ÁNGULOS ADYACENTES

Son dos ángulos que están en el mismo plano, tienen el mismo vértice y un lado en común, pero no tienen puntos interiores comunes. La suma de las medidas de los ángulos adyacentes da como resultado la medida del ángulo mayor formado.

ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE

Si dos rectas se intersecan en un punto, los ángulos opuestos por el vértice son iguales

<1 y <2 son opuestos por el vértice, entonces <1 = <4.
<3 Y <4 son opuestos por el vértice, entonces <3 = <4.

ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

Si la suma de las medidas de dos ángulos es 90º, los ángulos se llaman complementarios. En las dos figuras que se muestran <1 y <2 son complementarios, entonces

<1 + <2 = 90º

ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS

Si la suma de las medidas de dos ángulos es 180º, los ángulos son suplementarios, en las dos figuras mostradas <1 y <2 son suplementarios, entonces

<1 + <2 = 180º

POSTULADOS Y TEOREMAS

El estudio formal de la Geometría requiere el uso de postulados, teoremas y demostraciones.

 

Los postulados son enunciados que se aceptan como verdaderos y ellos no pueden demostrarse mientras que los teoremas son proposiciones derivadas de los postulados y se pueden demostrar, aunque en muchos casos las demostraciones son muy complicadas. 

En este curso se presentan únicamente los postulados y teoremas que se consideran necesarios para la solución de problemas geométricos.

SIETE POSTULADOS IMPORTANTES DE LA GEOMETRÍA

1. Una recta contiene cuando menos dos puntos; un plano contiene cuando menos tres puntos, no todos en la misma recta; el espacio contiene cuando menos cuatro puntos, no todos en el mismo plano. 
2. Existe una recta y sólo una que pasa por dos puntos. 
3. Existe un plano y sólo uno que pasa por tres puntos que no están en una sola recta. 
4. Si dos puntos están en un plano, entonces la recta que los contiene se encuentra también en el mismo plano. 
5. Si dos planos diferentes se intersecan, su intersección es una recta. 
6. Entre dos puntos existe una distancia, y sólo una. 
7. A cada ángulo le corresponde una medida en grados única, mayor o igual a 0º y menor o igual a 180º.

ÁNGULOS Y SUS MEDIDAS

Un ángulo está formado por dos rayos que tienen el mismo punto extremo. Al punto extremo común se le llama vértice y a los dos rayos se las llama lados del ángulo. El ángulo de la figura siguiente está formado por los rayos AB y AC, su vértice está en el punto A y sus lados son los rayos AB y AC.

Para referirse al ángulo de la figura anterior se puede hacer como < 1 , < CAB , < BAC y si el vértice no es compartido con otro ángulo puede identificarse como <A.

En Geometría usualmente la medida de un ángulo se expresa en grados sexagesimales. Un círculo tiene 360 grados, así un grado (1º) es el ángulo formado por 1/360 parte de un círculo. Un grado se divide en 60 minutos y un minuto se divide en 60 segundos.

1º= 60´

1´= 60"

ÁNGULO AGUDO

Es un ángulo cuya medida es mayor que cero y menor de 90º. Por ejemplo el ángulo A de la figura siguiente tiene una medida de 50º, es decir < A=50º

ÁNGULO RECTO

Es un ángulo cuya medida es 90º y usualmente se representa con una pequeña escuadra en el vértice del ángulo.

ÁNGULO OBTUSO

Es un ángulo cuya medida es mayor de 90º pero menor que 180º, en la figura se muestra un ángulo obtuso de 150º.

ÁNGULO LLANO

Es un ángulo cuyos lados son rayos opuestos. La medida de un ángulo llano es 180º .

DEFINICIONES FUNDAMENTALES

A partir de los elementos fundamentales se pueden definir otros elementos de la Geometría, en ésta sección se definen algunos de ellos.

ESPACIO

Está formado por todos los puntos posibles y contiene infinitos planos.

PUNTOS COLINEALES

Son todos los puntos que están situados sobre una misma recta.

PUNTOS COPLANARES

Son todos los puntos que están situados en un mismo plano.

 

 SEGMENTO DE RECTA 

El segmento de recta AB está formado por todos los puntos entre A y B incluyendo los puntos A y B. La longitud de un segmento es la distancia entre sus puntos extremos. Para indicar que la longitud del segmento AB es 5 escribimos AB= 5 . La siguiente figura muestra el segmento de recta AB.

RAYO O SEMIRRECTA

El Rayo AB está formado por todos los puntos que se extienden en una sola dirección a partir del punto A pasando por el punto B. El punto A se llama origen o punto extremo del rayo. La siguiente figura muestra el Rayo AB.

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO 

Es el punto que divide un segmento en dos segmentos iguales. Si C es el punto medio de AB, entonces. AC=BC.

ELEMENTOS FUNDAMENTALES DE LA GEOMETRÍA

Términos básicos no definidos

La Geometría tiene tres entes o elementos fundamentales no definidos: punto, recta y plano. 

PUNTO

El punto es el primer elemento que no está definido en Geometría. Se representa gráficamente por un pequeño círculo y una letra mayúscula que lo identifica. La siguiente figura muestra tres puntos A, B y C.

RECTA

El segundo término no definido de la Geometría Euclidiana es el de recta, aunque se entiende que una recta es un conjunto infinito de puntos que se extienden indefinidamente en sentidos opuestos. Para referirse a una recta, se seleccionan dos puntos sobre ella; la recta queda determinada por dichos puntos. Una recta también se puede identificar por una letra minúscula. La figura siguiente muestra la recta AB que pasa por los puntos A y B. La recta de la figura también está identificada como la recta l.

 PLANO

El tercer término no definido de la Geometría Euclidiana es el de plano. Se entiende que un plano es una superficie totalmente plana que se extiende indefinidamente. Una mesa de vidrio o la cubierta de un escritorio da la idea de un plano. Un plano se representa geométricamente por una figura de cuatro lados y una letra mayúscula. La siguiente figura representa al plano P.

EJERCICIOS RESUELTOS

Hallar el perímetro y el área de las siguientes figuras geométricas

1.- Un triángulo cuya base mide 10 cm, su lado 43.17 cm y su altura 42 cm

2.- Una mesa cuadrada de 1.20 m de lado.

3- Una tapa de zapatos que es rectangular mide 38 cm de largo por 21 cm de ancho.

4- Un rombo cuyas diagonales miden 5.4 cm y 3cm.
Con los datos conocidos puedo obtener el área.

5- Un pentágono regular que mide 7.265 cm de lado y 5 cm de apotema.

5-Un hexágono regular de 3.46 cm de lado y 3 cm de apotema.

6-Un círculo cuyo diámetro mide 6 cm

ÁREAS Y PERÍMETROS DE FIGURAS GEOMÉTRICAS

¿ QUÉ ES PERÍMETRO? 

Se refiere al contorno de una superficie o de una figura y a la medida de ese contorno.

En otras palabras, en una figura, el perímetro es la suma de todos sus lados. De esta manera, el perímetro permite calcular la frontera de una superficie, por lo que resulta de gran utilidad.

¿ QUÉ ES ÁREA?

El área es la medida de la región o superficie encerrada por de una figura geométrica. 

 

TRIÁNGULO

Es la porción de plano limitado por tres rectas que se cortan dos a dos.

P= a + b + c

A= b x h / 2

CUADRADO

Es la figura geométrica que tiene cuatro lados iguales y que forman cuatro ángulos rectos.

P= 4 x L

A= L x L

RECTÁNGULO

Figura geométrica de cuatro lados de dos longitudes distintas (de la misma longitud los lados opuestos) que forman cuatro ángulos rectos.

 P= 2 ( a + b )

A= a x b

ROMBO

Es la figura geométrica de cuatro lados iguales que no forman ángulos rectos.

 P = 4. L

A = D x d / 2

ROMBOIDE

Es la figura geométrica de cuatro lados que no forman ángulos rectos, de los cuales son iguales los opuestos y desiguales los contiguos.

P = 2 · (a + b)
A = b · h

TRAPECIO

Figura geométrica de cuatro lados, de los cuales solo dos son paralelos y los otros dos no paralelos.Los lados paralelos reciben en general el nombre de bases, denominándose base mayor al de mayor longitud, y base menor al otro. Se denomina altura del trapecio a la longitud de un segmento de perpendicular comprendido entre ambas bases.

P =  c + b + d + B

A= (B + b) . h / 2

POLÍGONO REGULAR

Los polígonos regulares son aquellos cuyos lados y sus ángulos interiores resultan iguales. Esto quiere decir que todos los lados miden lo mismo, al igual que los ángulos que forman las uniones de estos segmentos.

                         

P = Nº de lados x Lados

A = Perímetro x Apotema / 2

POLÍGONO IRREGULAR

Se le llama polígono irregular a un polígono cuyos lados y ángulos interiores no son iguales entre sí, los polígonos irregulares no tienen todos sus lados iguales.

P = L1 + L2 + L3 + L4 + L5

A = h1 + h2 + h3 + h4 + h5

CIRCUNFERENCIA

Línea curva cerrada cuyos puntos equidistan de otro situado en el mismo plano que se llama centro.

P = 2πr
A = πr´2

 RAMAS DE LA GEOMETRÍA

Cada especialidad, según lo que estudia, divide la geometría en distintos tipos. Incluso, en algunas especialidades, se ha llegado a fragmentarla en más de cuarenta subdivisiones. No obstante, la que te presentamos a continuación, es la principal categorización que se le ha dado a la geometría.

GEOMETRÍA EUCLIDIANA

Basada en el supuesto de Euclides, según quien, “por un punto dado, solo se puede trazar una recta paralela a una recta dada”. Estudia las propiedades de los espacios euclídeos. También se le conoce como geometría euclídea, geometría de Euclides o geometría parabólica.

De esta también se desprende la geometría plana, que estudia las figuras planas.

                  

GEOMETRÍA ESPACIAL

Es la que estudia las “figuras geométricas con volumen que ocupan un lugar en el espacio”. Además, estudia las propiedades y medidas de las figuras geométricas en el espacio tridimensional o espacio euclídeo.

Entre aquellas figuras se encuentran el cono, el cubo, el cilindro, la esfera, la pirámide, el prisma, los poliedros regulares como sólidos platónicos, convexos y no convexos, además de otros poliedros.

GEOMETRÍA NO EUCLIDIANA

La geometría Euclidiana trata de la geometría de nuestro mundo diario. El postulado paralelo de Euclídes parece intuitivamente claro, pero nadie ha sido capaz de demostrarlo.

Si sustituimos el postulado paralelo de Euclídes con el supuesto que existe más de una línea paralela a una línea dada a través de un punto dado, tenemos una geometría no Euclidiana llamada geometría hiperbólica. Si asumimos que no existen líneas paralelas, tenemos una geometría no Euclidiana llamada geometría elíptica.

GEOMETRÍA ANALÍTICA

Se conoce como geometría analítica al estudio de ciertos objetos geométricos mediante técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. Se podría decir que es el desarrollo histórico que comienza con la geometría cartesiana y concluye con la aparición de la geometría diferencial con Carl Friedrich Gauss y más tarde con el desarrollo de la geometría algebraica.

En la actualidad, la geometría analítica tiene aplicaciones más allá de las matemáticas y la ingeniería.

GEOMETRÍA DIFERENCIAL

En la rama de la matemática, la geometría diferencial es el análisis de la geometría, empleando los instrumentos de estudios matemáticos y de álgebra multilineal. Los elementos de análisis de este campo son las diversidades, diferenciables y los conocimientos de gemetría de Riemman. Los estudios actuales de la geometría diferencial están vinculados con la ciencia de la física, principalmente los estudios son analizados con la teoría de la relatividad.

TIPO DE GEOMETRÍA DIFERENCIAL

Geometría diferencial de curvas: esta geometría permite los procedimientos y definiciones para estudiar las curvas simples en variedades de la geometría de Riemann, fundamentalmente en el espacio euclídeo.


Geometría diferencial de superficies: expone las técnicas y definiciones para estudiar la geometría variedades diferenciales o de superficies de dos dimensiones introducidas en variedades de Riemann, principalmente en el espacio euclídeo.

Geometría diferencial de variedades: una variedad es un elemento geométrico modelo en matemática, se hallan diferentes variantes usadas según el dominio específico tomando en cuenta:

• Variedades diferenciables: usadas por la teoría de los grupos de Lie, por el cálculo diferencial referente a las zonas topológicas. 
• Variedades algebraicas: son proyectos que comprueban propiedades específicas. 
• Variedades aritméticas: son temas determinados de variedades algebraicas, tienen más técnicas para aplicarlas con dirección a la teoría de números. 

GEOMTRÍA PROYECTIVA

Se llama geometría proyectiva a la rama de la matemática que estudia las propiedades de incidencia de las figuras geométricas, pero abstrayéndose totalmente del concepto de medida, estudia las propiedades de incidencia de las figuras geométricas, como los objetos lineales; sean estos puntos, líneas, planos, hiperplanos, entre otros, y cómo se interceptan.

Comúnmente, se utiliza también para llamar así a la geometría descriptiva, la que estudia las formas tridimensionales en un plano bidimensional, a pesar de contener diferencias.


                                      

GEOMETRÍA DE DIMENSIONES BÁSICAS

Es aquella que estudia los problemas geométricos que surgen en el estudio de variedades de dimensiones menores que cinco, espacios localmente homeomorfos a los espacios euclidianos o euclídeos, desde la dimensión cero hasta la cuarta.

En su sistema, Euclides plantea cinco postulados. En el primero de ellos, planteaba que dado dos puntos se puede trazar una recta que los une; en el segundo, cualquier segmento puede prolongarse de manera continua en cualquier sentido; en el tercer postulado, se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier punto y de cualquier radio; en el cuarto, todos los ángulos rectos son congruentes; y en el quinto, si una recta -al cortar a otras dos- forma ángulos internos menores a dos ángulos rectos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos, postulado que luego sería reformulado a modo que, por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela a la recta dada.

A partir de esto, se han desprendido distintas formas de categorizar y diferenciar las ramas de la geometría, la que trasciende en su importancia hasta el día de hoy, al sentar las bases para que se sigan utilizando con suma importancia en ingeniería y las matemáticas.

Cabe recalcar también la existencia de la geometría de incidencia, estructura que no posee axiomas de congruencia, por lo que no se puede comparar segmentos ni establecer una métrica.